ΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΤΟΥ ΡΟΛΟΓΙΟΥ

Ένα δειλινό, ο καθηγητής ΓεωΜετρίδης (Γ.Μ) καθώς έφτασε στην λύση κάποιου θέματος, πρόσεξε τους δείκτες του μεγάλου ρολογιού στον απέναντι τοίχο. Για μια στιγμή είδε και τους τρεις δείκτες σχεδόν να συμπίπτουν. Έτσι επινόησε το εξής πρόβλημα. Ονόμασε Ω , Λ και Δ τους φορείς (τις ευθείες που ανήκουν κάθε στιγμή) των δεικτών των ωρών , των λεπτών και των δευτερολέπτων αντιστοίχως. Στην συνέχεια ονόμασε  τις μη αμβλείες γωνίες: θ₁ αυτή που σχηματίζουν ο Δ με τον Ω , θ₂ την γωνία των Δ και Λ και θ₃ αυτή των φορέων Λ και Ω. Το άθροισμά τους το συμβόλισε Σθ δηλ  Σθ = θ₁ + θ₂ + θ₃  με 0⁰θ₁ , θ_{2 ,} θ₃ ⁰ .

 Έθεσε συνεπώς –στον εαυτό του πρώτα- το Ζητούμενο 1₀: Να βρεθεί η ελάχιστη θετική τιμή του Σθ .Εξαιρούμε προφανώς τις ώρες 12 ακριβώς και 6 ακριβώς ,όπου μόνο τότε οι Ω , Λ και Δ συμπίπτουν και οι τρεις , ως ..μη ενδιαφέρουσες.

Μελετώντας το πρόβλημα που …δημιούργησε ο Γ.Μ διαπίστωσε πως σε κάθε χρονική στιγμή από τις 12 μέχρι τις 6 οι φορείς Ω , Λ και Δ ήταν στην ίδια θέση με αυτή που ήταν πριν (και θα είναι μετά) από ακριβώς 6 ώρες! Έτσι θέλοντας να εντοπίσει τις στιγμές που το Σθ γίνεται ελάχιστο μελέτησε μόνο το ανοιχτό διάστημα από τις 6 μέχρι τις 12 και βρήκε σ’ αυτό το διάστημα δύο στιγμές Τ1 και Τ2  όπου το Σθ παίρνει την ίδια ελάχιστη θετική τιμή του και μάλιστα υπολόγισε χρονική διάρκεια από την Τ1 μέχρι την Τ2 :

Τ2 –Τ1 = 2 ώρες , 43 λεπτά , 43 δευτερόλεπτα και  του δευτερολέπτου!

Επειδή ο Γ.Μ μόνος του το έφτιαξε και μόνος προσπάθησε να το λύσει , ζητάει την βοήθεια –ημών των φίλων του ασφαλώς-για να επαληθεύσουμε τα συμπεράσματά του. Μας θέτει , λοιπόν και το Ζητούμενο 2₀ :  Να βρεθούν οι στιγμές στο ανοιχτό διάστημα από ώρα 6 μέχρι 12  όπου το θετικό άθροισμα των θ₁ , θ₂ και θ₃ που είδαμε πιο πάνω γίνεται ελάχιστο .

Ευχαριστώ εκ των προτέρων όλους για το ενδιαφέρον και καλό καλοκαίρι .

Άρτα 7-6-2012

Με εκτίμηση

Γιώργος Μήτσιος.

ΤΑ 9   ΣΗΜΕΙΑ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΠΛΑΤΕΙΑ

Δίνεται κύκλος κέντρου  Ο και ακτίνας R . Θεωρούμε  9  τυχαία σημεία του κυκλικού του δίσκου (εντός ή επί του κύκλου).  Έστω  Μ ,Ν  τα  2 πλησιέστερα μεταξύ τους  απ ‘ αυτά τα 9 σημεία (κάνουμε δηλαδή τυχαία …σπορά ή επιλογή των 9 σημείων ,εντοπίζουμε κάθε φορά τα 2 πιο κοντινά και αυτά ονομάζουμε  Μ και Ν) .      Έχουμε δείξει  ότι για οποιαδήποτε τοποθέτηση των 9 αυτών σημείων ισχύει              πάντοτε (ΜΝ)  .

(Δημοσιεύθηκε από το περιοδικό Β΄ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της  ΕΜΕ   ως άσκηση  188 /τεύχους 79 , στην στήλη Ο Ευκλείδης προτείνει… και η λύση δόθηκε στο τεύχος 84).

Ας  ονομάσουμε  D την μέγιστη τιμή της (ΜΝ) για τις διάφορες (άπειρες) επιλογές των  9 σημείων. Δηλαδή  D  ας είναι  η μεγαλύτερη  δυνατή απόσταση των 2 πλησιέστερων μεταξύ τους από τα 9 σημεία, καθώς αυτά αλλάζουν θέσεις πάνω στον ορισμένο κυκλικό δίσκο.

Όπως δείξαμε ισχύει  D .

Τώρα ας δείξουμε ότι είναι

Θεωρούμε τον κύκλο (Ο,R) και κανονικό 8γωνο εγγεγραμμένο σ’ αυτόν. Τοποθετούμε τα 8 από τα 9 σημεία στις κορυφές του 8γώνου και το τελευταίο στο κέντρο Ο του κύκλου. Τα 9 σημεία ανά 2 ορίζουν 36 ευθύγραμμα τμήματα. Είναι φανερό ότι η απόσταση καθενός τμήματος απ’ αυτά είναι ίση ή μεγαλύτερη από την απόσταση  AB=λ₈  2 διαδοχικών κορυφών του 8γώνου ,άρα D  λ₈ . Από τον τύπο του Αρχιμήδη βρίσκουμε λ₈ =  όπου λ₄=R → λ₈ = R   Εναλλακτικά από τον νόμο των ημιτόνων   στο τρίγωνο   ΟΑΒ                                 έχουμε    οπότε   λ₈ = 2ημ R ή λ₈ =  R .

Άρα D [  R, R   ]

Το  νέο ζητούμενο λοιπόν , που θα ήθελα να θέσω  υπ’ όψιν της ευρύτερης μαθηματικής κοινότητας είναι : Να υπολογιστεί , (ως συνάρτηση του  R)                    η τιμή της D (ή  να εγκλωβιστεί σε όσο το δυνατόν μικρότερο διάστημα).                             Μπορούμε , μ’ άλλα λόγια να τοποθετήσουμε τα 9 σημεία στον κυκλικό δίσκο έτσι ώστε η απόσταση και των 2 πιο κοντινών απ’ αυτά να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά κανονικού οκταγώνου που εγγράφεται στον κύκλο ;

Γενικεύοντας , αν θεωρήσουμε  Ν σημεία αντί για 9 να βρεθεί  η τιμή της D (σε σχέση με τα γνωστά  R και Ν ) όπως αυτή ορίστηκε πιο πάνω.

Πιθανότατα το ζητούμενο να έχει λυθεί  προ πολλού… Ευκαιρία να το μάθουμε !

Ευχαριστώ εκ’ των προτέρων όλους για το ενδιαφέρον σας.

Υ/Γ.  Ο καθηγητής ΓεωΜετρίδης(Γ.Μ), που πρώτος μας παρουσίασε την ιδέα του προβλήματος με την μορφή γρίφου, ισχυρίζεται τώρα ότι είναι

D = R = λ₈ .

Αφήνει δηλαδή να εννοηθεί πως σκοπεύει να μας κοινοποιήσει απόδειξη ότι:            Η μέγιστη απομάκρυνση των 2 πλησιέστερων σημείων από τα 9 του κυκλικού δίσκου πετυχαίνεται όταν τα 8 είναι οι κορυφές κανονικού      8-γώνου  εγγεγραμμένου στον δοσμένο κύκλο και το ένατο σε περιοχή του κέντρου του έτσι ώστε να απέχει από κάθε κορυφή λ₈ .

Μπορούμε να ελέγξουμε την ορθότητα του ισχυρισμού του Γ.Μ,                                    ή τον εμπιστευόμαστε και περιμένουμε την εν’ λόγω απόδειξή του;

Με εκτίμηση

Γιώργος Μήτσιος.

Welcome

Είμαι ο Γιώργος Μήτσιος, από την Άρτα, μαθηματικός και σας καλωσορίζω στον ιστότοπό μου.