ΤΑ 9   ΣΗΜΕΙΑ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΠΛΑΤΕΙΑ

Δίνεται κύκλος κέντρου  Ο και ακτίνας R . Θεωρούμε  9  τυχαία σημεία του κυκλικού του δίσκου (εντός ή επί του κύκλου).  Έστω  Μ ,Ν  τα  2 πλησιέστερα μεταξύ τους  απ ‘ αυτά τα 9 σημεία (κάνουμε δηλαδή τυχαία …σπορά ή επιλογή των 9 σημείων ,εντοπίζουμε κάθε φορά τα 2 πιο κοντινά και αυτά ονομάζουμε  Μ και Ν) .      Έχουμε δείξει  ότι για οποιαδήποτε τοποθέτηση των 9 αυτών σημείων ισχύει              πάντοτε (ΜΝ)  .

(Δημοσιεύθηκε από το περιοδικό Β΄ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της  ΕΜΕ   ως άσκηση  188 /τεύχους 79 , στην στήλη Ο Ευκλείδης προτείνει… και η λύση δόθηκε στο τεύχος 84).

Ας  ονομάσουμε  D την μέγιστη τιμή της (ΜΝ) για τις διάφορες (άπειρες) επιλογές των  9 σημείων. Δηλαδή  D  ας είναι  η μεγαλύτερη  δυνατή απόσταση των 2 πλησιέστερων μεταξύ τους από τα 9 σημεία, καθώς αυτά αλλάζουν θέσεις πάνω στον ορισμένο κυκλικό δίσκο.

Όπως δείξαμε ισχύει  D .

Τώρα ας δείξουμε ότι είναι

Θεωρούμε τον κύκλο (Ο,R) και κανονικό 8γωνο εγγεγραμμένο σ’ αυτόν. Τοποθετούμε τα 8 από τα 9 σημεία στις κορυφές του 8γώνου και το τελευταίο στο κέντρο Ο του κύκλου. Τα 9 σημεία ανά 2 ορίζουν 36 ευθύγραμμα τμήματα. Είναι φανερό ότι η απόσταση καθενός τμήματος απ’ αυτά είναι ίση ή μεγαλύτερη από την απόσταση  AB=λ₈  2 διαδοχικών κορυφών του 8γώνου ,άρα D  λ₈ . Από τον τύπο του Αρχιμήδη βρίσκουμε λ₈ =  όπου λ₄=R → λ₈ = R   Εναλλακτικά από τον νόμο των ημιτόνων   στο τρίγωνο   ΟΑΒ                                 έχουμε    οπότε   λ₈ = 2ημ R ή λ₈ =  R .

Άρα D [  R, R   ]

Το  νέο ζητούμενο λοιπόν , που θα ήθελα να θέσω  υπ’ όψιν της ευρύτερης μαθηματικής κοινότητας είναι : Να υπολογιστεί , (ως συνάρτηση του  R)                    η τιμή της D (ή  να εγκλωβιστεί σε όσο το δυνατόν μικρότερο διάστημα).                             Μπορούμε , μ’ άλλα λόγια να τοποθετήσουμε τα 9 σημεία στον κυκλικό δίσκο έτσι ώστε η απόσταση και των 2 πιο κοντινών απ’ αυτά να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά κανονικού οκταγώνου που εγγράφεται στον κύκλο ;

Γενικεύοντας , αν θεωρήσουμε  Ν σημεία αντί για 9 να βρεθεί  η τιμή της D (σε σχέση με τα γνωστά  R και Ν ) όπως αυτή ορίστηκε πιο πάνω.

Πιθανότατα το ζητούμενο να έχει λυθεί  προ πολλού… Ευκαιρία να το μάθουμε !

Ευχαριστώ εκ’ των προτέρων όλους για το ενδιαφέρον σας.

Υ/Γ.  Ο καθηγητής ΓεωΜετρίδης(Γ.Μ), που πρώτος μας παρουσίασε την ιδέα του προβλήματος με την μορφή γρίφου, ισχυρίζεται τώρα ότι είναι

D = R = λ₈ .

Αφήνει δηλαδή να εννοηθεί πως σκοπεύει να μας κοινοποιήσει απόδειξη ότι:            Η μέγιστη απομάκρυνση των 2 πλησιέστερων σημείων από τα 9 του κυκλικού δίσκου πετυχαίνεται όταν τα 8 είναι οι κορυφές κανονικού      8-γώνου  εγγεγραμμένου στον δοσμένο κύκλο και το ένατο σε περιοχή του κέντρου του έτσι ώστε να απέχει από κάθε κορυφή λ₈ .

Μπορούμε να ελέγξουμε την ορθότητα του ισχυρισμού του Γ.Μ,                                    ή τον εμπιστευόμαστε και περιμένουμε την εν’ λόγω απόδειξή του;

Με εκτίμηση

Γιώργος Μήτσιος.